Livro “Pré-Cálculo - Uma Preparação para o Cálculo” com Resumo para Baixar em PDF

Livro recomendado de Pré Cálculo. Melhor livro de Pré Cálculo que eu vi. É preciso dedicar tempo para resolver os exercícios propostos e estudar os resolvidos.

Linguagem simples e intuitiva. Entrega super rápida. Vale o custo benefício. Recomendo.

Didático. Livro muito bom, didático e bem explicado. No entanto deve-se tomar cuidado na resolução dos exercícios. Muitas vezes as respostas dadas e gráficos estão trocadas.

Sensacional. O livro espetacular.

Essencial para recém ingressados de exatas. Um livro muito didático e bem detalhado para quem quer ter uma base sólida para iniciar a disciplina de cálculo.

Ele traz textos de fácil compreensão e de tamanho ideal para entendimento dos conceitos, além disso conta com muitos exercícios que possuem resolução passo-a-passo (apenas exercícios ímpares) no final de cada capítulo.

Gostei muito do livro e achei um excelente custo-benefício. Recomendo para quem quer reforçar as bases da matemática.

Bom, mas peca em detalhes importantes. O livro é bom, só acho que seria melhor colorido, porque em alguns gráficos os tons de cinza ficam difíceis de serem diferenciados.

O livro conta com resolução dos exercícios ímpares, o que é maravilhoso, mas poderia, ao menos, vim com o gabarito dos exercícios pares e dos problemas.

Isso porque, muitas vezes fiz os pares e/ou os problemas, e fiquei na dúvida se tinha acertado. No final, eu perdi interesse de fazer esses, já que não ia saber a resposta mesmo.

Fundamental de se ter na estante. Livros sobre esse assunto temos aos montes, mas com essa didática e linguagem acessíveis não.

Livro do Axler é maravilhoso para se aprender sobre os tópicos de pré-calculo, uma disciplina que por si só, ja é densa e com muitas sutilezas a serem exploradas.

Recomendo aos meus amigos de curso ! Os exemplos são muito claros e as resoluções também. Assim como o livro do Stewart, ele apresenta exercícios com graus diferentes de dificuldade, o que nos anima ao estudo.

Sem uma introdução ao Cálculo. O autor apresenta várias disciplinas sem, no entanto, direcionar ao assunto mais importante: a relação dessa teoria toda com a disciplina Cálculo Diferencial e Integral.

Utiliza apenas um capítulo simples sobre limites. A definição de função (que é o objeto de estudo do Cálculo) é superficial e explicada de forma não intuitiva e com a notação moderna criada no século 20.

Só iniciar o seu estudo no Cálculo...A “invenção” do Cálculo é, geralmente, atribuída a Newton e a Leibniz. No entanto, o surgimento do Cálculo como conhecemos hoje foi resultado da evolução de uma ideia que remonta desde os antigos gregos que a usavam para encontrar valores de áreas e volumes de figuras e sólidos de formatos não triangulares ou retangulares (círculo e esfera, p.e.).A palavra cálculo é o diminutivo de calx, que em latim significa pedra.

Atualmente o Cálculo é uma abreviação de Cálculo Diferencial e Integral. A palavra Derivada veio da expressão Fonction Dérivée da obra Théorie des fonctions analytiques (Teoria das Funções Analíticas) de Joseph Louis Lagrange, publicada em 1797.

Na verdade, o Cálculo é uma engenhosa criação do intelecto humano que não é exatamente um novo ramo da Matemática.

É sim um novo método de lidar com as ideias de infinito, função e o conceito de variação aplicada à Álgebra, à Geometria e à Trigonometria por meio da (ferramenta) Geometria Analítica.

A grande dificuldade no aprendizado das ideias do Cálculo reside na forma equivocada como seus conceitos são definidos e ensinados em livros didáticos e em sala de aula.

A função é o objeto de estudo do Cálculo, assim como o patrimônio é o objeto de estudo da Contabilidade.

No entanto, há um problema no ensino sobre o que é e o que significa uma função. Existe uma dificuldade de entendimento da definição atual de função porque ela é definida em termos de pares ordenados da teoria (formal) dos conjuntos.

Este conceito evolui desde a antiguidade e só mereceu atenção rigorosa no campo da análise matemática que fundamenta o Cálculo.

Euler definia uma função como expressão analítica. Então qual é a diferença de uma expressão algébrica tipo y = 2x + 10 para a notação atual de função f(x) = 2x + 10?

Bem, é similar à comparação entre substantivo e verbo, entre estática e dinâmica, por exemplo. A função dinamiza uma variação, um gráfico em movimento.

Você não pode visualizar a função como uma fórmula algébrica com algum “x” inteiro (ou racional, por exemplo) que dá uma solução à equação.

A definição formal e abstrata de função foi adotada no ensino moderno e nos livros apenas no século XX após a consolidação da Teoria dos Conjuntos (de George Cantor) e da aritmetização da análise matemática divulgada pelo grupo de matemáticos franceses de pseudônimo Nicolas Bourbaki (1939).

Estes por sua vez se basearam na descrição de Dirichlet (1837). Mas a palavra função surgiu pela primeira vez – em 1673 – em um manuscrito de Leibniz intitulado O método inverso das tangentes, ou sobre funções (Methodus tangentium inversa, seu de functionibus).

Outra grande confusão é definir o conceito de derivada com a interpretação da reta tangente a uma curva usando o conceito do quociente (razão/taxa) da variação de uma reta secante deslizante "misturada" com o conceito de limite sem exatamente dar uma explicação inteligível da relação valor do coeficiente angular (tangente) com o valor da derivada.

Por que usar uma reta tangente a uma curva? E por que é difícil entender o que é uma reta tangente em um único ponto em uma determinada curva?

Ora, quem vê a reta desenhada tangendo a curva observa que ela não toca somente um ponto. Não faz sentido e não é convincente (Descartes conseguiu um modo engenhoso de explicar essa tangente.

Explico mais a frente). E o que é exatamente um ponto? E a linha e a linha reta? As definições descritas no livro Os Elementos (página 97 do livro traduzido por Irineu Bicudo) responde:• Ponto é aquilo de que nada é parte;• E linha é comprimento sem largura;• E linha reta é a que está posta por igual com os pontos sobre si mesma.

Deu para entender estas três definições. A definição da linha reta pode ser traduzida como uma disposição uniforme e unidimensional de pontos.

Para se compreender essas definições é necessário entender o conceito de abstração. Num sentido mais geral, abstração [do latim tardio abstractione] é um processo mental de se obter ou extrair uma ou mais partes de uma totalidade complexa, seja ela elemento da realidade ou da própria imaginação.

Assim, a partir da abstração é criado um modelo mental no qual se pode manipulá-lo ou transformá-lo independentemente da realidade, ou de parte dela, que ele representa.

No sentido matemático, abstração é uma representação simbólica ou figurativa de um modelo mental criado a partir de uma realidade ou de um elemento constituinte da realidade do qual se extrai apenas determinadas propriedades ou características relevantes.

Então, estes entes geométricos são abstrações de formas de objetos (elementos ou coisas) concretos (reais) que a mente humana criou para obter uma percepção de parte do mundo que nos cerca.

Portanto, se eles são abstrações da mente humana: o ponto e a reta não têm medida finita, ou seja, são intrinsecamente por definição imensuráveis, adimensionais: ponto sem tamanho e reta sem largura.

Claro que podemos definir uma medida finita a uma reta qualquer através de uma associação com um valor escalar. Esse é o comprimento.

Por isso não faz sentido ao visualizarmos um gráfico de uma curva com uma reta tangente afirmando-se que ela toca a curva em um único ponto.

O que visualizamos na verdade é que essa tangente toca vários pontos. Afinal, o que é esse ponto que os professores e autores de livros de Cálculo afirmam que toca a curva em um único ponto da curva utilizado para definir a derivada e seu valor atrelado ao conceito de limite?

Isso acaba causando uma confusão cognitiva nos discentes ao primeiro contato com a definição de derivada. Existe um modo mais engenhoso de explicar esse ponto único da reta tangente a uma curva.

Sim, existe. Ele foi imaginado por Descartes nos seus momentos de devaneios iniciais na gênese da Geometria Analítica. A grande ideia dessa nova ferramenta que ela passou a considerar um ponto como uma coordenada no sistema cartesiano que usamos hoje (cartesiano veio do nome latinizado do nome francês Rene Descartes: Renatus Cartesius.

Use o Google tradutor para conferir, afinal o latim era a língua científica da época dele e de Newton)Descartes imaginou um círculo cujo raio é interceptado por uma reta perpendicular ele (formando 90 graus, lembra?).

Essa interceptação pode se dar em um ponto (reta coincidente, ou sobreposta, com a linha da circunferência) ou em dois pontos (reta não coincidente que corta a circunferência em dois semiarcos).

Vamos agora emprestar a ideia dele, não o método, e vamos denominar esse ponto coincidente de ponto de referência. Agora usando um gráfico cartesiano da função quadrática f(x) = x2 + 5 ou f(x) = - x2 + 5 (forma uma parábola) e vamos imaginar que existe um círculo qualquer C cuja circunferência percorra todo o gráfico (por dentro ou por fora, tanto faz) de modo que a linha desta coincida com a linha da curva da parábola (pense numa roda em movimento de skate quando um skatista desce na rampa em formato U) e que exista uma reta perpendicular ao raio interceptando-o no ponto de referência e que sempre acompanha o movimento do círculo (ou da roda do skate).

Então, o raio do círculo (ou da roda do skate) sempre será perpendicular a esta reta que acompanha o movimento dele.

Por conseguinte, esta reta perpendicular é a reta tangente à curva do gráfico. Essa nova denominação de ponto de referência tem uma recepção cognitiva mais intuitiva.

Ou seja, o que se movimenta na curva é esse ponto de referência que pertence também à reta perpendicular ao raio da circunferência que acompanha o movimento desse ponto.

Mas, o que tem a ver essa tal reta tangente com uma curva. Bem, imagine um gráfico de uma parábola (gerada por uma função quadrática) ou de uma onda senoidal (gerada por uma função de arco seno).

Como podemos saber se a curva está em algum estágio crescente ou decrescente, ou até mesmo em um estágio máximo (crista da curva) ou em um estágio mínimo.

Se traçarmos algumas retas tangentes em alguns pontos de referência de uma curva que “acompanham” a subida e a descida da curva, o sinal do coeficiente angular dessa reta nos informará esses movimentos da curva.

Ou seja, a reta nos informará se a curva está em estágio crescente – coeficiente angular positivo – ou em estágio decrescente – coeficiente angular negativo.

No caso da crista da curva, o coeficiente admite valor zero. Não confundir coeficiente angular (ou declividade) com a inclinação da reta.

Inclinação é a medida angular da reta em relação a um eixo de referência. Coeficiente angular é o valor calculado a partir da tangente da inclinação da reta.

A função nos permite modelar a variação entre grandezas, como por exemplo a aceleração de foguete ou de um meteoro, a taxa de crescimento populacional de uma amostra de bactérias, a taxa de decaimento radioativo.

E dá para calcular essa taxa (ou razão) de crescimento ou decrescimento usando somente a matemática sem o Cálculo? Não, pois as funções formam gráficos e modelam taxas de variação entre grandezas de que podem ser de forma não linear (não é constante).

Na natureza, e no universo, praticamente não existe variações lineares. Então como medimos (calculamos) essa variação ponto a ponto? Ou como dizem os físicos, a variação instantânea.

O pensamento da variação instantânea é outra ideia que é difícil entrar na cabeça dos alunos. Agora imagine ao seguinte: nos filmes de película (não digital) exibido nos cinemas antigos os movimentos de um personagem advém da taxa de 24 fotografias por segundo.

Então, a variação instantânea nesse caso teria como resultado uma fotografia, embora o conceito de variação seria o passo de uma fotografia para a fotografia seguinte.

Mas como não existe o movimento desse passo, pois a fotografias são estáticas e existem individualmente, obtém-se somente a fotografia captada num determinado tempo do movimento (1/24 de segundo).

É apenas a interpretação do cérebro humano que projeta o movimento das fotografias passadas sequencialmente num determinado ritmo captável ao olho humano.

Nesse exemplo fica fácil de entender como obter o resultado da velocidade instantânea do filme de projeção de película, pois as películas são o que os matemáticos denominam de grandezas discretas, ou seja, o filme é formado por fotografias bem identificas univocamente, é finita em si, não se divide em infinitas imagens.

É aí que o “bicho pega”, pois na natureza e no universo tudo é movimento, é variação com grandezas que se dividem ao infinito, ou seja, são contínuas, não discretas.

Aí que surge a ideia do uso de função para modelar matematicamente os fenômenos naturais ou até artificiais (lembra do foguete?).

A função modela movimento, variação, dinamicidade. A função produz gráficos cartesianos. Gráficos cuja variação pontual (do ponto de referência) pode ser calculado utilizando o conceito de derivada.

A derivada nos informa a taxa ou razão de variação da função num determinado momento ou num determinado ponto (na verdade, de um ponto para outro).

Esse ponto percorre o gráfico e pertence também à reta tangente à curva desse gráfico. Bem, agora que já entendemos o que significa que é uma reta tangente a uma curva, podemos racionar como calcular a variação pontual (ou instantânea, segundo os físicos) num determinado momento de variação de um ponto para outro no gráfico.

Mas como vamos calcular a variação num ponto da curva se só identificamos somente este ponto tangente, e este sendo estático, não tem variação?

Aí é que vem o “pulo do gato”. Como estamos lidando com grandezas contínuas que variam do infinitamente pequeno ao infinitamente grande, podemos pegar esse ponto de referência e o ponto seguinte com valor próximo ao infimamente pequeno.

Não temos ideia de qual pequeno seja esse segundo ponto em relação ao primeiro. Leibniz os chamava de infinitesimais. O problema de se utilizar o conceito de infinitesimais é que eles são apenas uma ideia, uma abstração sem definição de forma.

Daí veio a ideia de limite que possui definição formal (Cauchy criou a ideia de limite e Weierstrass o definiu formalmente).

Se a derivada determina a taxa ou razão de duas grandezas próxima ao infinitamente pequeno e o conceito de limite chega tão próximo ao infinito, mas nunca chegar nele, então podemos calcula-la utilizando este conceito.

É o chamado valor limite ou limite da função. Um exemplo de valor limite 1 é o somatório infinito 0,9 = 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...

Ou seja, o limite de 0,999... (com reticências que define infinitude) é 1 (utilize a forma algébrica que você provar isso ou use a fórmula da PG infinita S = a1 / (1 – r)).Então, é por isso que os livros didáticos e professores adotam a expressão de limite para definir (e calcular) a derivada de um ponto num gráfico cartesiano utilizando o artifício da reta secante que se movimenta até que ela se torne tangente à curva tocando-o apenas um ponto.

Este artifício de movimentar uma reta secante que intercepta a curva em mais de um ponto em direção ao nosso ponto de referência (que é ponto da verdadeira tangente, lembram?) permite que ele chegue tão infinitamente próximo quanto possível (até o valor limite) de forma que se possibilite calcular a diferença entre os dois pontos e de forma que se permita calcular a variação entre eles.

Se eles coincidissem, o ponto da tangente e o ponto da secante, não haveria variação. E adivinhem, o cálculo da taxa de variação é o mesmo cálculo para se determinar o coeficiente angular (declividade) da reta tangente.

Daí a confusão cognitiva que os alunos têm de relacionar o valor da tangente com o valor da derivada. Confundem a interpretação geométrica (deveria ser algébrica-geométrica) com o uso gráfico cartesiano da função.

O uso da ideia de limite foi genial. Enquanto, com o uso do conceito de infinitésimos fazia-se necessário desprezar valores no cálculo final da fórmula da taxa ou razão da variação, com o uso da ideia de limite, o desprezo dá lugar ao valor limite, mais inalcançável.

Daí o uso atual da formula da taxa ou razão de variação entre dois valores de uma função: Derivada de uma função f(x) = limite [f(x) – f(x0)] / [x – x0] quando x - x0 tende um a valor infimamente pequeno.

Ou na notação mais usual que utiliza a letra “h” que simplifica a fórmula. Este passa a ser o acréscimo de valor infinitamente pequeno.

Então, a derivada de uma função f(x) = limite [f(x + h) – f(x)] / h quando h tende um a valor infimamente pequeno.

A ideia do infinito, seja ele o infinitamente pequeno ou infinitamente grande, não cabe na mente humana. Talvez porque somos seres finitos; não vivemos para sempre.

Não faz sentido para nós não encontrarmos um início e um fim.É dessa ideia de infinito que o grego Zenão criou seus famosos paradoxos (Aquiles e a tartaruga, p.e.) e Eudoxo criou o seu método da Exaustão que foi utilizado por Arquimedes para calcular áreas e volumes de figuras.

Depois dos gregos é que surgiu o termo infinitesimal para designar um valor infinitamente pequeno. Galileu e Cavalieri o utilizaram para dar base a formulação de suas teorias físicas e matemáticas.

O conceito de infinito foi relacionado com o de limite e este, por sua vez, foi idealizado e formalizado por Cauchy e Karl Weierstrass.

Sobre a Integral... Sobre as Equações Diferenciais...

A Sheldon Axler, minha eterna gratidão. Provavelmente, o melhor livro de pré-cálculo do mercado. Nenhum outro possui a didática e a leveza deste, que traz fotos do gato do autor espalhadas pelas páginas, imagem de troncos para falar de logaritmo, etc.

Usando-o durante um mês de estudo, superei uma reprovação com 18 pontos em cálculo para uma aprovação com 100 na UFMG.

Muito bom. Muito bom.

Fantástico. O conteúdo é ótimo e bem explicado e é complementado pelo exercícios. Recomendo.